AR 모형

AR(p) 모형은 이전 시점의 값이 현재 시점의 값에 영향을 준다고 가정하는 모형입니다. p는 영향을 주는 시점의 수를 나타냅니다.

$$ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + a_{t} $$

직전 t-1 시점의 오차가 영향을 주면 AR(1) 모형, 직전 t-1과 그 이전 t-2의 오차가 영향을 주면 AR(2) 모형, 등으로 구분합니다.

다음은 AR(1) 모형의 시뮬레이션입니다. 직전의 값에 0.8을 곱하고 오차를 더하면 현재의 값이 됩니다. 이 모형의 경우 양의 자기 상관을 가지게 됩니다.

import numpy as np
n = 100
e = np.random.normal(size=n)
sim = np.zeros(n)
for i in range(1, n):
    sim[i] = 0.8 * sim[i-1] + e[i]

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(sim)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x1546f5e5ea0>]

직전의 값에 -0.8을 곱하는 경우입니다. 이 모형은 음의 자기상관을 가지게 됩니다.

sim = np.zeros(n)
for i in range(1, n):
    sim[i] = -0.8 * sim[i-1] + e[i]
plt.plot(sim)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x15472900910>]

AR(p) 모형의 ACF는 점진적으로 감소하는 형태를 띕니다.

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
plot_acf(sim);

대신 PACF는 p를 지나면 0으로 감소하는 형태를 띕니다. (MA모형은 ACF가 이런 형태를 띕니다.)

plot_pacf(sim);

SARIMAX 함수로 추정할 때 order는 (p, d, q) 순입니다. 따라서 AR(1) 모형은 order=(1, 0, 0)으로 설정합니다. ar.L1 계수가 -0.8에 가까운 것을 볼 수 있습니다.

from  statsmodels.tsa.api import SARIMAX
ar1 = SARIMAX(sim, order=(1, 0, 0)).fit()
ar1.summary()

Warnings:

[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

맥주 데이터를 AR 모형으로 분석합니다.

import pandas as pd
df = pd.read_excel('beer.xlsx')

y = df.production
y.plot()

<Axes: >

AR(1)

ar1 = SARIMAX(y, order=(1, 0, 0)).fit()
ar1.summary()

Warnings:

[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

y.plot()
ar1.predict(0, 250).plot()

<Axes: >

AR(1)과 절편

ar1c = SARIMAX(y, order=(1, 0, 0), trend='c').fit()
ar1c.summary()

Warnings:

[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

y.plot()
ar1c.predict(0, 250).plot()

<Axes: >

AR(2)와 절편

ar2 = SARIMAX(y, order=(2, 0, 0), trend='c').fit()
ar2.summary()

Warnings:

[1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

y.plot()
ar2.predict(0, 250).plot()

<Axes: >