[확률] 기대값 :: 마인드스케일

기대값

기대값(EV, Expected Value)은 확률변수의 평균값을 의미하며, 어떤 확률적인 실험이나 사건이 무한히 반복될 때 그 결과로 얻어질 것으로 예상되는 평균적인 값입니다. 기대값은 통계학과 확률론에서 중요한 위치를 차지하며, 금융, 경제학, 공학 등 다양한 분야에서 의사결정을 위한 기준으로 활용됩니다.

기대값 계산 방법

이산 확률변수의 경우, 기대값은 각 이벤트의 발생 확률과 그 이벤트의 결과값을 곱한 후 이를 모두 더함으로써 계산할 수 있습니다. 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다:

E(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i x_i

여기서 $E(X)$ 는 확률변수 $X$ 의 기대값, $p_i$ 는 $i$ 번째 값 $x_i$ 가 발생할 확률, $x_i$ 는 확률변수 $X$ 의 $i$ 번째 가능한 값입니다.

연속 확률변수의 경우, 기대값은 확률밀도함수(f(x))를 이용하여 전체 정의역에 대해 무한소 구간의 결과값과 그 확률을 곱해 적분함으로써 계산합니다:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

예제를 통한 기대값 이해

이산 확률변수 예제:

한 게임에서는 주사위를 던져서 나오는 숫자만큼 금화를 받을 수 있습니다. 이 경우 기대값을 계산해보겠습니다.

주사위의 각 면(1, 2, 3, 4, 5, 6)이 나올 확률은 동일하므로 1/6입니다. 따라서 기대값은 다음과 같습니다:

E(X) = \sum_{i=1}^{6}\frac{1}{6}i = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3.5

따라서, 이 게임을 무한히 많이 했을 때, 평균적으로 한 번당 3.5개의 금화를 받을 수 있는 것으로 기대할 수 있습니다.

연속 확률변수 예제:

길이가 1미터인 막대에서 임의의 점을 선택할 때, 선택된 점의 길이의 기대값을 구해보겠습니다. 막대의 한쪽 끝에서 선택된 점까지의 거리를 $X$ 라고 합시다.

모든 점이 동일한 확률로 선택될 수 있으므로, 확률밀도함수는 $f(x) = 1$ (단, $0 \leq x \leq 1$ ). 따라서 기대값은 다음과 같습니다:

E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 1 dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}

이러한 결과는 막대의 길이의 평균적인 점이 막대 중앙인 0.5미터 지점에 있음을 나타냅니다.