[확률] 균등 분포

 

균등 분포란 무엇인가

 

균등 분포의 정의 소개

균등 분포(Uniform Distribution)는 모든 사건이 동일한 확률로 발생하는 확률분포입니다. 하나의 정의역 내에서 모든 값이 발생할 확률이 동일함을 의미합니다. 균등 분포는 크게 이산 균등 분포(Discrete Uniform Distribution)와 연속 균등 분포(Continuous Uniform Distribution)로 나눌 수 있습니다.

 

이산 균등 분포와 연속 균등 분포의 차이

이산 균등 분포는 정의역이 유한한 정수값들로 이루어진 경우에 해당하며, 연속 균등 분포는 어떤 구간 내의 모든 값에 대해 확률이 동일한 경우를 의미합니다. 간단히 말해, 이산 균등 분포는 셀 수 있는 사건에 대해 사용되고, 연속 균등 분포는 측정 가능한 무한한 사건에 대해 사용됩니다.

 

이산 균등 분포

 

이산 균등 분포의 기본 개념

이산 균등 분포는 n개의 서로 다른 값이 모두 같은 확률을 가지는 분포입니다. 예를 들어, 주사위를 한 번 던지는 경우 모든 면이 나올 확률이 $1/6$로 동일합니다.

 

예시를 통한 이산 균등 분포의 이해

주사위를 던지는 경우가 대표적인 예입니다. 주사위의 각 면(1에서 6까지)이 나올 확률은 모두 동일하므로 이산 균등 분포를 따릅니다.

 

이산 균등 분포의 확률 질량 함수(PMF)

이산 균등 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다:

여기서, $n$은 가능한 모든 결과의 수입니다.

 

연속 균등 분포

 

연속 균등 분포의 기본 개념

연속 균등 분포는 주어진 구간 $[a, b]$ 내의 모든 점이 발생할 확률이 동일한 분포입니다.

 

예시를 통한 연속 균등 분포의 이해

길이가 1미터인 막대에서 임의의 점을 선택하는 경우, 선택될 점의 위치는 0에서 1 사이의 연속 균등 분포를 따릅니다.

 

연속 균등 분포의 확률 밀도 함수(PDF)

연속 균등 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

 

균등 분포의 활용

 

균등 분포가 사용되는 실제 사례

• 컴퓨터 시뮬레이션에서 임의의 수를 생성할 때
• 기계 학습에서 시드 데이터 생성
• 경제학에서 시장 참여자의 동일한 확률 가정

 

균등 분포를 활용한 문제 해결 방법

균등 분포를 사용하여 복잡한 확률 문제들을 단순화하고, 데이터의 무작위성을 제공하는 여러 가지 시뮬레이션과 알고리즘을 개발할 수 있습니다.

 

균등 분포의 한계 및 주의사항

실제 세계의 데이터는 대부분 균등 분포를 따르지 않으므로, 균등 분포를 사용할 때는 상황에 맞는지 신중히 평가해야 합니다.

 

균등 분포의 수학적 성질

 

기대값과 분산 계산하기

• 이산 균등 분포의 기대값: $\frac{n + 1}{2}$
• 연속 균등 분포의 기대값: $\frac{a + b}{2}$
• 이산 균등 분포의 분산: $\frac{n^2 - 1}{12}$
• 연속 균등 분포의 분산: $\frac{(b - a)^2}{12}$

 

다른 분포와의 관계 이해하기

균등 분포는 본질적으로 가장 단순한 형태의 확률 분포입니다. 그러나 실험적인 설정이나 시뮬레이션에서는 다른 복잡한 분포를 근사하기 위한 기초로 사용될 수 있습니다. 시퀀스 또는 합의 중심극한정리의 적용을 통해 다른 분포로의 전환도 가능합니다.