[확률] 확률의 기본 성질

 

확률의 기본 성질

확률은 불확실한 사건의 발생 가능성을 수량화하는 방법입니다. 일상 생활에서부터 과학 연구에 이르기까지 다양한 분야에서 확률은 중요한 역할을 합니다. 이번 포스트에서는 확률의 기본 성질에 대해 설명합니다.

 

확률의 범위(0과 1 사이의 값)

확률의 가장 기본적인 성질 중 하나는 그 값이 0과 1 사이에 있다는 것입니다. 여기서 0은 사건이 절대 일어나지 않음을 의미하고, 1은 사건이 반드시 일어남을 의미합니다. 실수 $P(A)$로 표현되는 사건 $A$의 확률은 다음과 같은 성질을 만족합니다.

예를 들어, 주사위를 한 번 던져서 7이 나올 확률은 0입니다(주사위의 면은 1부터 6까지이므로). 반대로, 주사위를 던졌을 때 1부터 6 중 하나의 숫자가 나올 확률은 1입니다.

 

사건의 합집합과 교집합에 대한 확률

만약 두 사건 $A$와 $B$가 서로 독립적이라면, $A$ 또는 $B$가 발생할 확률은 두 사건의 확률의 합과 같습니다. 그러나 사건이 서로 독립적이지 않다면, 다음과 같이 계산해야 합니다.

이 식은 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 발생하는 겹치는 부분을 한 번 빼주는 것입니다. 예를 들어, 동전을 두 번 던져서 첫 번째 던짐에서 앞면이 나오는 사건을 $A$, 두 번째 던짐에서 앞면이 나오는 사건을 $B$라고 할 때, 최소한 한 번 앞면이 나올 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

조건부 확률과 독립 사건의 확률

조건부 확률은 한 사건이 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률을 나타냅니다. 사건 $B$가 발생했다는 조건 하에 사건 $A$가 발생할 확률은 다음과 같이 표현됩니다.

여기서 $P(B) \neq 0$입니다. 예를 들어, 한 상자에 빨간 구슬 3개와 파란 구슬 2개가 있다고 할 때, 무작위로 구슬을 하나 뽑았을 때 파란 구슬을 뽑은 후에 다시 뽑는 사건을 생각해볼 수 있습니다. 첫 번째 뽑기에서 파란 구슬을 뽑는 사건을 $B$, 두 번째 뽑기에서도 파란 구슬을 뽑는 사건을 $A$라고 할 때, $P(A|B)$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

또한, 두 사건 $A$와 $B$가 독립적이라면, $A$가 발생할 확률은 $B$가 발생했는지 여부에 영향을 받지 않습니다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립합니다.

또는

이는 $A$와 $B$ 각각의 확률을 곱한 것과 $A$와 $B$가 동시에 발생할 확률이 같다는 것을 의미합니다.