[선형 대수학] 역행렬

 

역행렬

역행렬(Inverse Matrix)은 선형 대수학에서 주어진 행렬 $A$에 대해, $A$와 곱했을 때 단위 행렬 $I$를 생성하는 행렬을 말합니다. 역행렬은 $A^-1$로 표시되며, 다음과 같은 관계를 만족합니다:

여기서 $I$는 단위 행렬을 의미합니다.

 

2x2 행렬의 역행렬

2x2 행렬 $A$가 다음과 같을 때,

$A$의 역행렬 $A^-1$은 다음과 같이 계산됩니다:

 

고차 행렬의 역행렬 계산 방법

• 수반 행렬(Adjugate Matrix) 방법: 고차원 행렬에 대한 역행렬을 계산할 때, 수반 행렬(Adjugate Matrix)과 행렬식을 사용할 수 있습니다. 수반 행렬은 원래 행렬의 각 요소에 대한 여인수(Cofactor)를 구하고, 이를 전치시킨 행렬입니다.

• 가우스-조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination): 이 방법은 확장된 행렬에 가우스-조던 소거법을 적용하여 역행렬을 직접 구하는 방식입니다. 원래 행렬과 단위 행렬을 나란히 놓고, 행 연산을 통해 원래 행렬을 단위 행렬로 만들 때, 단위 행렬이 있던 자리에 형성되는 행렬이 역행렬입니다.

 

역행렬의 성질

• 대칭 행렬: $A$가 대칭 행렬이면, $A^-1$도 대칭 행렬입니다.
• 곱의 역행렬: 두 행렬 $A$, $B$에 대해 $(AB)^-1 = B^-1A^-1$가 성립합니다.
• 전치의 역행렬: $A$의 전치 행렬의 역행렬은 $A$의 역행렬의 전치와 같습니다. 즉, $(A^T)^-1 = (A^-1)^T$.
• 단위 행렬: 단위 행렬의 역행렬은 단위 행렬입니다.

 

행렬식

행렬식(Determinant)은 선형 대수학에서 중요한 개념으로, 주어진 정사각행렬에 대해 하나의 스칼라 값을 할당하는 함수입니다. 행렬식은 보통 $det(A)$ 또는 $|A|$로 표시되며, 행렬 $A$의 성질을 나타냅니다. 행렬식은 행렬이 선형 변환을 수행할 때, 변환에 의해 공간이 확장되거나 축소되는 정도를 측정합니다.

 

역행렬과 행렬식의 관계

** 행렬 $A$가 역행렬을 가지려면 $det(A)$는 0이 아니어야 합니다.

$det(A^{-1}) = 1/det(A)$입니다.

 

행렬식의 기하학적 의미

기하학적으로, 행렬식은 행렬에 의해 변환된 공간의 "부피" 변화를 나타냅니다. 2차원에서는 면적, 3차원에서는 부피로 해석할 수 있으며, 행렬식의 절대값은 변환된 도형의 원래 도형에 대한 면적(또는 부피) 비율을 의미합니다. 행렬식이 음수인 경우, 변환에 의해 공간의 방향성(오리엔테이션)이 반전됨을 나타냅니다.

 

2x2 행렬의 행렬식 계산

2x2 행렬 $A$가 다음과 같을 때,

$A$의 행렬식 $det(A)$는 다음과 같이 계산됩니다.

 

행렬식의 성질

1. 교환 성질: 두 행렬 $A$와 $B$에 대해, $det(AB) = det(A)det(B)$입니다.
2. 전치 성질: 행렬 $A$의 전치 행렬은 행렬 $A$의 행렬식과 동일합니다. 즉, $det(A^T) = det(A)$입니다.
3. 단위 행렬: 단위 행렬의 행렬식은 1입니다.
4. 행(열)의 선형 종속: 행렬 $A$의 어떤 두 행(또는 열)이 선형 종속이면, $det(A) = 0$입니다.

 

행렬식의 응용 예시

• 선형 시스템의 해의 유일성: 선형 시스템 $AX = B$가 유일한 해를 가지는지 판별할 때, 계수 행렬 $A$의 행렬식을 확인합니다. $det(A) ≠ 0$이면 시스템은 유일한 해를 가집니다.
• 기하학 및 물리학: 부피, 면적 계산 및 방향성 변화를 포함하여, 다양한 기하학적 및 물리학적 문제를 해결하는 데 사용됩니다.