[선형 대수학] 벡터 공간 :: 마인드스케일

벡터공간

벡터공간은 특정한 벡터들의 집합으로 정의됩니다. 이 공간에서는 두 가지 기본 연산, 즉 벡터의 덧셈과 스칼라(실수나 복소수 등)와의 곱셈이 정의됩니다. 벡터공간의 핵심적인 특성은 이러한 연산을 수행한 결과로 얻어진 벡터 역시 동일한 벡터공간 내에 존재한다는 것입니다. 이는 벡터공간이 이러한 연산에 대해 '닫혀 있다(closed)'고 표현되기도 합니다.

벡터공간에서의 덧셈은 두 벡터를 합하여 새로운 벡터를 생성하는 연산입니다. 이 연산은 교환법칙과 결합법칙을 만족합니다. 예를 들어, 벡터 $a$ 와 벡터 $b$ 의 합은 벡터 $a + b$ 로 표현되며, 이 결과는 원래의 벡터공간 내에 속합니다. 벡터 덧셈의 결과로 얻어진 벡터는 두 원래 벡터의 '합성벡터'로 해석될 수 있습니다.

스칼라 곱셈은 벡터와 스칼라(일반적으로 실수나 복소수)의 곱으로 정의됩니다. 이 연산을 통해 벡터의 크기를 확장하거나 축소할 수 있으며, 음수와의 곱셈을 통해 벡터의 방향을 반전시킬 수도 있습니다. 스칼라 곱셈의 결과로 얻어진 벡터 역시 원래의 벡터공간 내에 속합니다.

벡터 연산의 성질

벡터공간에서 정의된 연산은 다음과 같은 기본적인 수학적 성질을 만족합니다:

결합법칙: $(a + b) + c = a + (b + c)$
교환법칙: $a + b = b + a$

스칼라 곱셈과 벡터 덧셈 사이에는 분배법칙이 적용됩니다. 예를 들어, 스칼라 $λ$ 와 벡터 $a$ , $b$ 에 대해, $λ(a + b) = λa + λb$ 가 성립합니다.

영벡터와 역벡터

모든 벡터공간은 영벡터(즉, 덧셈에 대한 항등원)를

포함합니다. 영벡터는 벡터를 더했을 때 원래의 벡터가 변하지 않게 하는 유일한 벡터입니다. 또한, 각 벡터에는 덧셈에 대한 역원인 역벡터가 존재하며, 벡터와 그 역벡터를 더하면 영벡터가 됩니다.

벡터공간의 예시

실수 벡터공간

정의 및 구성: 실수 벡터공간 $\mathbb{R}^n$ 은 모든 실수 n-튜플의 집합입니다. 여기서 n-튜플은 $(x_1, x_2, ..., x_n)$ 과 같이 n개의 실수로 이루어진 순서쌍을 의미하며, 각 $x_i$ 는 실수입니다.
연산: $\mathbb{R}^n$ 에서의 벡터 덧셈은 각 요소별로 이루어집니다. 즉, 두 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 와 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ 의 합은 $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n)$ 입니다. 스칼라 곱셈도 각 요소에 대해 이루어지며, 스칼라 $c$ 와 벡터 $\mathbf{a}$ 의 곱은 $c\mathbf{a} = (ca_1, ca_2, ..., ca_n)$ 입니다.

함수 공간

정의 및 구성: 함수 공간은 모든 실수 값을 가지는 함수의 집합입니다. 이 공간에 속하는 각 함수는 실수 집합에서 실수 집합으로의 매핑을 정의합니다.
연산: 함수의 덧셈은 두 함수의 각 점에서의 값의 합으로 정의됩니다. 즉, 두 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ 입니다. 스칼라 곱셈은 함수의 각 점에서의 값에 스칼라를 곱한 것으로 정의됩니다: $(cf)(x) = c \cdot f(x)$ .

평면과 공간 벡터

정의 및 구성: 2차원(평면) 또는 3차원(공간) 벡터는 각각 $\mathbb{R}^2$ 와 $\mathbb{R}^3$ 에 해당합니다. 이들은 공간 내의 점이나 방향을 나타내는 데 사용됩니다.
기하학적 표현: 2차원 벡터는 평면상의 화살표로, 3차원 벡터는 공간 내의 화살표로 표현될 수 있으며, 이는 각각 두 점 또는 세 점 사이의 방향과 거리를 나타냅니다.

다항식 공간

정의 및 구성: 다항식 공간은 모든 n차 이하의 다항식들로 구성된 공간입니다. 다항식의 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 이를 통해 새로운 다항식을 생성할 수 있습니다.
연산 예시: 두 다항식 $p(x) = x^2 + 2x + 1$ 와 $q(x) = 3x^2 + 4$ 의 합은 $p(x) + q(x) = 4x^2 + 2x + 5$ 입니다.

시퀀스 공간과 행렬 공간

시퀀스 공간: 특정한 규칙을 가진 수열들의 집합입니다. 예를 들어,

모든 유한 수열 또는 특정 조건을 만족하는 무한 수열이 이 공간에 속할 수 있습니다.

행렬 공간: 모든 $m \times n$ 행렬의 집합입니다. 행렬 공간에서의 덧셈은 각 요소별로, 스칼라 곱셈은 모든 요소에 스칼라를 곱하는 방식으로 이루어집니다.
연산 예시: $2 \times 2$ 행렬 공간에서, 두 행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 와 $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ 의 합은 $A + B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$ 입니다.

부분벡터공간

부분벡터공간(Subspace)은 어떤 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $W$ 로, $W$ 자체도 벡터공간의 모든 조건을 만족하는 경우를 말합니다. 이러한 조건은 다음과 같습니다:

영벡터의 포함: $W$ 는 $V$ 의 영벡터를 포함해야 합니다. 이는 $W$ 가 공집합이 아니며, 최소한 하나의 벡터(영벡터)를 포함한다는 것을 의미합니다.
벡터 덧셈의 닫힘: $W$ 내의 어떤 두 벡터를 더해도 그 결과는 항상 $W$ 내에 있어야 합니다. 즉, $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W, \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ 입니다.
스칼라 곱셈의 닫힘: $W$ 내의 모든 벡터에 대해, 어떤 스칼라와의 곱셈 결과도 $W$ 내에 있어야 합니다. 즉, $\forall c \in \mathbb{R}, \forall \mathbf{v} \in W, c\mathbf{v} \in W$ 입니다.

부분벡터공간의 예시

모든 선형 조합으로 생성되는 공간: 주어진 벡터공간 $V$ 내의 벡터들의 선형 조합으로 생성될 수 있는 모든 벡터의 집합은 부분벡터공간을 형성합니다. 예를 들어, $\mathbb{R}^3$ 공간에서 어떤 두 벡터에 의해 생성된 평면은 $\mathbb{R}^3$ 의 부분벡터공간입니다.
특정 조건을 만족하는 함수의 집합: 예를 들어, 모든 연속 함수들의 집합이나, 모든 미분 가능한 함수들의 집합은 함수 공간의 부분벡터공간을 형성합니다.

영공간

행렬 $A$ 에 대한 영공간(Null Space) $N(A)$ 는 행렬 $A$ 를 곱했을 때 결과가 영벡터가 되는 모든 벡터의 집합입니다. 즉, $N(A) = \{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n | A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}$ 입니다. 여기서 $\mathbf{0}$ 은 영벡터입니다.

열공간

행렬 $A$ 의 열공간(column space) $C(A)$ 는 $A$ 의 열벡터들에 의해 생성된 공간입니다. 열공간은 $A$ 의 열벡터들의 모든 선형 조합으로 구성됩니다. 이는 $A$ 에 의해 변환될 수 있는 모든 벡터의 집합을 나타냅니다.