[선형 대수학] 직교 행렬

직교 행렬(Orthogonal Matrix)은 그 행렬의 전치가 그 행렬의 역행렬과 같은 특별한 종류의 행렬입니다. 수학적으로, 행렬 $A$ 가 직교 행렬일 때, 다음과 같은 관계가 성립합니다:

A^TA = AA^T = I

여기서 $A^T$ 는 $A$ 의 전치 행렬, $I$ 는 단위 행렬을 나타냅니다. 이는 $A$ 의 행들과 열들이 정규화되어 있고 서로 직교한다는 것을 의미합니다.

직교 행렬의 성질

보존성: 직교 행렬을 사용하여 벡터에 선형 변환을 적용하면, 벡터의 길이(또는 norm)와 각도가 보존됩니다. 이는 회전이나 반사와 같은 기하학적 변환을 나타낼 때 유용합니다.
결정자: 직교 행렬의 결정자는 항상 $+1$ 또는 $-1$ 입니다. $+1$ 은 순수한 회전을, $-1$ 은 반사를 포함한 회전을 나타냅니다.
역행렬: 직교 행렬의 역행렬은 그 전치 행렬과 동일합니다. 이는 직교 행렬이 역행렬을 구하기 쉽다는 것을 의미합니다.

직교 행렬의 예시

2x2 회전 행렬: 평면에서 원점 주위로 $\theta$ 만큼 회전하는 변환은 다음과 같은 직교 행렬로 표현될 수 있습니다.

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

이 행렬은 벡터를 $\theta$ 만큼 회전시키는 선형 변환을 나타냅니다.

3x3 반사 행렬: 3차원 공간에서 주어진 평면에 대한 반사를 나타내는 직교 행렬 예시는 다음과 같습니다.

M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

이 행렬은 $x$ 축에 대해 벡터를 반사시킵니다.

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