[선형 대수학] 랭크

행렬의 랭크(rank)는 해당 행렬에서 선형 독립인 행(또는 열)의 최대 개수입니다. 이는 행렬이 생성할 수 있는 공간의 차원과 동일합니다.

랭크는 행렬이 선형 변환으로서 얼마나 '강력한' 정보를 가지고 있는지를 나타내는 척도입니다. 행렬의 랭크가 행렬의 행 수나 열 수와 같다면, 그 행렬은 'full 랭크'라고 합니다.

 

랭크의 중요성

랭크는 행렬의 성질을 파악하는 데 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 선형 시스템이 해를 가지는지 여부와 해의 유일성을 판단하는 데 사용됩니다.

행렬 $A$의 랭크와 확장 행렬 $[A|b]$의 랭크를 비교함으로써 선형 시스템 $Ax = b$의 해가 존재하는지 판별할 수 있습니다.

 

행렬의 랭크 계산

행렬의 랭크를 계산하는 가장 일반적인 방법은 가우스 소거법을 사용하여 행렬을 간소화하는 것입니다. 이 과정에서 남는 비영 행(reduced row)의 수가 행렬의 랭크입니다.

아래 행렬 $A$를 간소화하면, 모든 행이 선형 종속임을 알 수 있으며, $\text{Rank}(A) = 1$입니다.

 

랭크-Nullity 정리

여기서 $n$은 행렬 $A$의 열 수입니다. 이 정리는 행렬의 랭크와 영공간(Null Space)의 차원 간의 관계를 설명합니다.

 

랭크의 성질

랭크는 행렬의 행 연산에 불변입니다. 즉, 행을 교환하거나, 한 행에 스칼라를 곱하거나, 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더해도 랭크는 변하지 않습니다.

$n \times n$ 정사각 행렬이 full 랭크를 가질 때, 즉 $\text{Rank}(A) = n$일 때, 행렬 $A$는 역행렬을 가집니다.

두 행렬 $A$와 $B$에 대해, $\text{Rank}(AB) \leq \min(\text{Rank}(A), \text{Rank}(B))$입니다.

행렬의 열(또는 행)들이 선형 독립인지 여부를 랭크를 통해 판별할 수 있습니다. 열의 수보다 랭크가 작으면 선형 종속입니다.