[선형 대수학] 선형 시스템

 

선형 시스템

선형방정식이란, 변수의 계수가 모두 상수이며, 각 변수의 지수가 1인 방정식을 말합니다. 예를 들어, $2x + 3y = 5$는 두 변수 $x$와 $y$에 대한 선형방정식입니다. 선형시스템은 여러 선형방정식의 집합으로, 이 시스템을 해결함으로써 변수들의 값을 찾아낼 수 있습니다.

선형시스템의 가장 간단한 형태는 행렬 형태로 나타낼 수 있으며, 이를 통해 복잡한 시스템도 쉽게 해석하고 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 선형시스템을 생각해봅시다.

이 시스템은 행렬과 벡터를 사용하여 다음과 같이 간략하게 나타낼 수 있습니다.

여기서 첫 번째 행렬은 계수를, 두 번째 벡터는 변수를, 그리고 마지막 벡터는 상수를 나타냅니다. 이러한 표현을 사용하면 선형시스템을 더욱 체계적으로 해결할 수 있습니다.

 

가우스 소거법

가우스 소거법은 선형 대수학에서 선형 방정식 시스템을 해결하기 위한 기본적이고 강력한 알고리즘입니다. 이 방법은 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 이름을 빌려준 것으로, 선형 방정식의 집합을 단순화하여 해를 찾는 데 사용됩니다.

 

가우스 소거법의 기본 원리

가우스 소거법의 핵심 아이디어는 선형 방정식 시스템을 행렬 형태로 나타내고, 행 연산을 수행하여 행렬을 간단한 형태(주로 상삼각행렬 형태)로 변환하는 것입니다. 이 과정을 통해 변수들의 값을 순차적으로 쉽게 찾아낼 수 있습니다.

 

가우스 소거법의 단계

1. 행렬 형성: 선형 방정식 시스템을 확장된 계수 행렬(확장된 행렬은 기존 계수 행렬에 상수 항 벡터가 추가된 형태)로 나타냅니다.

2. 전진 소거: 이 단계에서는 계수 행렬을 상삼각행렬 형태로 변환합니다. 상삼각행렬은 대각선 아래의 모든 요소가 0인 행렬을 말합니다. 이를 위해 행 간의 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱셈과 같은 기본적인 행 연산을 사용하여 하단의 모든 요소를 0으로 만듭니다.

3. 후진 대입: 전진 소거 과정을 통해 얻은 상삼각행렬에서 시작하여, 맨 아래 행에서부터 시작하여 각 변수의 값을 차례로 구합니다. 맨 아래 행에서는 단 하나의 변수만 남으므로 이 값을 쉽게 구할 수 있고, 이 값을 이용해 위로 올라가면서 다른 모든 변수의 값을 순차적으로 구할 수 있습니다.

 

가우스 소거법의 응용

가우스 소거법은 단순히 선형 방정식의 해를 찾는 것 이상의 다양한 응용 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 행렬의 역을 찾거나, 선형 시스템의 해의 존재 여부와 유일성을 판별하는 데도 사용됩니다. 또한, 공학, 물리학, 컴퓨터 과학 등 많은 분야에서 실제 문제를 모델링하고 해결하는 데 필수적인 도구로 활용됩니다.

 

예시

다음 선형 시스템을 고려해봅시다.

이 시스템을 가우스 소거법을 이용해 풀기 위해, 우선 이 방정식들을 행렬 형태로 나타냅니다.

1단계: 행렬 형성

2단계: 행 간 연산으로 상삼각행렬 만들기

가우스 소거법의 목표는 행렬을 상삼각 형태(모든 비대각 성분이 0인 형태)로 만드는 것입니다. 이를 위해 다음과 같은 행 연산을 수행합니다.

1. 첫 번째 행을 그대로 둡니다.

2. 두 번째 행에 첫 번째 행의 3배를 더해서 새로운 두 번째 행을 만듭니다. 이를 수행하기 위해 첫 번째 행에 3을 곱한 후, 두 번째 행과 더합니다.

이 연산을 수행한 후의 행렬은 다음과 같습니다.

3단계: 후진 대입

이제 행렬이 상삼각 형태로 변환되었으므로, 변수의 값을 후진 대입 방법으로 찾을 수 있습니다.

1. 두 번째 행에서 $5y = 10$, 따라서 $y = 2$.
2. 첫 번째 행에서 $x + 2y = 7$에 $y$의 값을 대입하여 $x$의 값을 찾습니다.

따라서, 이 선형 시스템의 해는 $x = 3$, $y = 2$입니다.

정리

가우스 소거법을 이용하여 선형 시스템을 풀 때는, 먼저 시스템을 행렬 형태로 나타내고, 행 연산을 통해 행렬을 상삼각 형태로 만든 후, 후진 대입을 통해 변수의 값을 찾습니다. 이 방법은 선형 시스템을 체계적으로 해결하는 데 매우 유용합니다.