[선형 대수학] 선형 독립

 

선형 조합

벡터의 선형 조합은 주어진 벡터들에 스칼라 값을 곱한 후, 그 결과들을 더해 새로운 벡터를 생성하는 과정입니다. 이는 벡터 공간 내에서 매우 중요한 연산으로, 벡터 공간을 구성하고 이해하는 데 기본이 됩니다.

만약 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$이 벡터 공간 내의 벡터들이고, $c_1, c_2, ..., c_n$이 스칼라(실수 또는 복소수)라면, 이 벡터들의 선형 조합은 다음과 같이 표현됩니다.

예시: 벡터 $\mathbf{a} = (1, 2)$와 $\mathbf{b} = (3, 4)$에 대해, $2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (11, 16)$입니다.

 

선형 독립

벡터 집합이 선형 독립이라는 것은 집합 내의 어떠한 벡터도 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 없음을 의미합니다. 선형 독립의 벡터들은 벡터 공간의 '기저'를 형성하는 데 사용될 수 있으며, 이는 공간의 모든 벡터를 유일하게 표현하는 데 필수적입니다.

벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$에 대해, 만약 아래 식이 오직 $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$일 때만 성립한다면, 이 벡터들은 선형 독립입니다.

여기서 $\mathbf{0}$은 영벡터입니다.

 

선형 종속

벡터 집합이 선형 종속이라는 것은 집합 내의 최소 한 개 이상의 벡터가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 의미합니다. 즉, 선형 종속인 벡터 집합에서는 일부 벡터를 다른 벡터들로 "대체"할 수 있습니다.

만약 아래 식이 $c_1, c_2, ..., c_n$ 중 적어도 하나가 0이 아닌 값으로도 만족한다면, 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n$은 선형 종속입니다.

 

선형 독립과 선형 종속의 예시 및 구별 방법

예시: $\mathbb{R}^2$에서, 벡터 $\mathbf{a} = (1, 0)$와 $\mathbf{b} = (0, 1)$는 선형 독립입니다. 반면, $\mathbf{a} = (1, 0), \mathbf{b} = (2, 0)$는 선형 종속입니다.

벡터 집합이 주어졌을 때, 해당 벡터들로 구성된 행렬의 행렬식을 계산하거나, 가우스 소거법을 사용하여 행렬을 간소화함으로써 선형 독립 여부를 판별할 수 있습니다. 행렬식이 0이 아니면 선형 독립, 0이면 선형 종속입니다.

 

생성

생성(Span)은 주어진 벡터 집합에 의해 생성될 수 있는 모든 가능한 벡터들의 집합입니다. 즉, 주어진 벡터들의 모든 선형 조합으로 이루어진 공간을 의미합니다. 이 개념은 벡터 공간을 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다.

벡터 집합 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n \}$의 생성을 $\text{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n)$으로 나타내며, 이는 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 $c_i$는 스칼라(실수)입니다.

 

벡터의 집합이 공간을 생성하는 방법

주어진 벡터들의 선형 조합으로 구성된 공간은 그 벡터들이 "생성한" 공간입니다. 이 공간은 해당 벡터들로 표현할 수 있는 모든 점들을 포함합니다.

생성된 공간의 차원은 해당 공간을 형성하는 데 필요한 최소한의 선형 독립 벡터 수에 의해 결정됩니다. 이 선형 독립 벡터 집합을 공간의 기저라고 합니다.

 

생성 예시와 의미

• 예시 1: 2차원 평면 내의 벡터들 $\mathbf{a} = (1, 0)$와 $\mathbf{b} = (0, 1)$를 고려해보겠습니다. 이 두 벡터의 생성, $\text{Span}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$,은 전체 $\mathbb{R}^2$ 평면을 형성합니다. 이는 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 $\mathbb{R}^2$의 기저를 구성하기 때문입니다.

• 예시 2: 3차원 공간 내의 벡터들 벡터 $\mathbf{v}_1 = (1, 0, 0)$, $\mathbf{v}_2 = (0, 1, 0)$, $\mathbf{v}_3 = (0, 0, 1)$에 대해, $\text{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)$은 전체 $\mathbb{R}^3$ 공간입니다. 이 세 벡터는 $\mathbb{R}^3$의 표준 기저를 형성합니다.

생성의 개념은 주어진 벡터 집합으로 얼마나 "넓은" 공간을 표현할 수 있는지를 나타냅니다. 이는 벡터 공간의 구조를 이해하고, 다양한 벡터 공간 문제를 해결하는 데 기본적인 도구로 사용됩니다.

 

기저

기저(Basis)는 특정 벡터 공간을 완전히 표현할 수 있는, 최소한의 선형 독립 벡터 집합입니다. 기저 벡터들의 선형 조합으로 벡터 공간의 모든 벡터를 나타낼 수 있으며, 이러한 성질은 벡터 공간의 구조를 이해하고 분석하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 기저의 선택은 유일하지 않으며, 하나의 벡터 공간에 여러 기저가 존재할 수 있습니다.

기저가 되기 위해서는 두 가지 주요 조건을 만족해야 합니다:

• 선형 독립: 기저를 구성하는 벡터들은 서로 선형 독립이어야 합니다. 즉, 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현될 수 없습니다.
• 공간 생성: 기저 벡터들의 선형 조합으로 해당 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있어야 합니다. 이는 기저 벡터들이 공간을 완전히 "덮는다"는 의미입니다.

 

기저 예시

• $\mathbb{R}^n$ 공간의 표준 기저: $\mathbb{R}^3$의 표준 기저는 $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0)$, $\mathbf{e}_2 = (0, 1, 0)$, $\mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)$로 구성됩니다. 이 벡터들은 서로 선형 독립이며, $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터를 이들의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다.
• 다항식 공간의 기저: $P_2$, 즉 2차 이하의 모든 다항식을 포함하는 공간의 기저는 $1, x, x^2$입니다. 이 다항식들은 서로 선형 독립이며, $P_2$의 모든 다항식을 이들의 선형 조합으로 표현할 수 있습니다.

 

기저 찾기

• 선형 독립 집합에서 기저로의 전환: 주어진 벡터 집합이 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있다면, 이 집합 내에서 선형 독립인 부분집합을 찾아 기저를 구성할 수 있습니다.
• 가우스 소거법 사용: 주어진 벡터 집합을 행렬의 형태로 배열한 후, 가우스 소거법을 사용하여 행렬을 간소화함으로써 선형 독립인 벡터들을 찾을 수 있습니다. 이 과정에서 남은 비영 행들이 기저를 형성합니다.

 

차원

차원(Dimension)은 벡터 공간의 기본적인 성질 중 하나로, 해당 공간을 형성하는 데 필요한 최소한의 벡터 수를 나타냅니다. 수학적으로, 벡터 공간 $V$의 차원은 $V$를 생성하는 기저의 벡터 수로 정의됩니다. 차원은 일반적으로 $\text{dim}(V)$로 표기되며, 이는 공간의 '크기'나 '복잡성'을 측정하는 방법을 제공합니다.

• 예시: $\mathbb{R}^3$의 차원은 3입니다. 이는 공간을 형성하는 데 필요한 최소한의 벡터 수가 3개($\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0), \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)$)임을 의미합니다.

 

벡터공간의 차원과 기저

벡터공간의 차원은 해당 공간의 기저를 통해 정의됩니다. 기저는 공간을 완전히 표현할 수 있는 최소한의 선형 독립 벡터 집합이며, 기저의 벡터 수가 곧 공간의 차원을 결정합니다. 모든 기저는 동일한 수의 벡터를 가지므로, 벡터 공간의 차원은 기저에 독립적인 고유한 속성입니다.

벡터 공간 $V$에 대해, $\text{dim}(V) = n$이라면, $V$의 모든 기저는 정확히 $n$개의 벡터를 포함합니다.

예시: 2차원 평면 $\mathbb{R}^2$는 기저 $\{ (1, 0), (0, 1) \}$에 의해 생성됩니다. 따라서, $\mathbb{R}^2$의 차원은 2입니다.